בגרות קיץ 2026 מועד א' · שאלה 6 – גופים במרחב: חרוט וגליל3 יחידות 372 · שיעור 42
📄 נוסח השאלה
בעקבות עבודות בכביש חסמה העירייה את אחד הנתיבים. כדי לשמור על הבטיחות הציבו הפועלים תמרור אזהרה ושלושה קונוסים זהים בצורת חרוט (ראו סרטוט).
נתון כי האורך של רדיוס הבסיס של כל אחד מן הקונוסים הוא 21 ס"מ, והגובה של כל אחד מהם הוא 72 ס"מ.
א. מצאו את האורך של הקו היוצר של כל אחד מן הקונוסים.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצאו את שטח המעטפת של שלושת הקונוסים סך הכול.
העמוד של תמרור האזהרה הוא בצורת גליל. נתון כי גובה העמוד גדול פי 3 מגובה הקונוס, וכי הנפח שלו הוא 3,456π סמ"ק.
ג. מצאו את האורך של רדיוס הבסיס של העמוד.
ד. האם שטח המעטפת של העמוד גדול או קטן משטח המעטפת של שלושת הקונוסים סך הכול? נמקו את תשובתכם.
סעיף א – הקו היוצר
הגובה, רדיוס הבסיס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית: הניצבים – הגובה והרדיוס, היתר – הקו היוצר.
l2 = r2 + h2
📐 משפט פיתגורס
נציב r = 21 , h = 72:
l2 = 212 + 722
l2 = 441 + 5,184
l2 = 5,625
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
סעיף א – הקו היוצר · המשך
l2 = 5,625
l = √5,625 = 75
✅ פתרון סופי: 75 ס"מ
סעיף ב – שטח המעטפת של שלושת הקונוסים
שטח המעטפת של קונוס אחד:
M = π · r · l
📐 שטח מעטפת חרוט
נציב r = 21 , l = 75:
M = π · 21 · 75
M = 1,575π
שלושה קונוסים:
📐 שטח מעטפת חרוט
M = πrl
סעיף ב – שטח המעטפת של שלושת הקונוסים · המשך
שלושה קונוסים:
3 · 1,575π = 4,725π
3 · 1,575π ≈ 14,844.03
✅ פתרון סופי: 4,725π ≈ 14,844 סמ"ר
סעיף ג – רדיוס הבסיס של העמוד
גובה העמוד:
h = 3 · 72 = 216
נסמן ב־R את רדיוס הבסיס של העמוד:
V = π · R2 · h
📐 נפח גליל
נציב V = 3,456π , h = 216:
3,456π = π · R2 · 216
📐 נפח גליל
V = πR2h
סעיף ג – רדיוס הבסיס של העמוד · המשך
3,456π = π · R2 · 216
נחלק את שני האגפים ב־216π:
R2 = 3,456216
R2 = 16
אורך חיובי:
R = 4
סעיף ג – רדיוס הבסיס של העמוד · המשך
R = 4
✅ פתרון סופי: 4 ס"מ
סעיף ד – העמוד או הקונוסים
שטח המעטפת של העמוד (הגליל):
M = 2π · R · h
📐 שטח מעטפת גליל
נציב R = 4 , h = 216:
M = 2π · 4 · 216
M = 1,728π
M ≈ 5,428.67
📐 שטח מעטפת גליל
M = 2πRh
סעיף ד – העמוד או הקונוסים · המשך
M ≈ 5,428.67
נשווה לשטח המעטפת של שלושת הקונוסים (סעיף ב):
1,728π < 4,725π
✅ פתרון סופי: שטח המעטפת של העמוד קטן (1,728π לעומת 4,725π)
📌 סיכום התשובות
א
75 ס"מ
ב
4,725π ≈ 14,844 סמ"ר
ג
4 ס"מ
ד
קטן
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא